Números enteros

El hombre primitivo creó los números cuando necesitó contar y para ello le alcanzaba con los números naturales, pero luego aparecieron muchísimas situaciones, tales como las temperaturas bajo cero, las profundidades en el mar, los saldos deudores en las cuentas bancarias, etc; que hicieron necesaria la creación de otros números: los ENTEROS NEGATIVOS.

El conjunto de los números enteros

Cuando hablamos de nuestro equipo favorito o de un grupo de rock, aparece la idea de conjunto. 

En Matemática también hablamos de conjuntos,y los designamos con letras mayúsculas. Los elementos que pertenecen a un conjunto se anotan entre llaves. Un conjunto esta incluido en otro si todos sus elementos pertenecen también al otro conjunto.  

• Modulo o valor absoluto 

En matemática, a la distancia desde un numero hasta 0 la llamamos modulo o valor absoluto de ese numero.

Como el modulo de un numero es una distancia, nunca puede ser negativo.Si a ese numero lo llamamos 6, lo escribimos así:|6| 

• Suma de números enteros

Para sumar números enteros, vamos a tomar el ejemplo del ascensor. Escribiremos un signo ( +) cada vez que el ascensor sube y un signo (-) cada vez que baja.

Ejemplos

• El ascensor subió 4 pisos, paro y subió otros 3 pisos.En total,subió 7 pisos.

                       Lo indicamos así: (+4) + (+3) = +7

• El ascensor bajo 2 pisos, paro y bajo otros 6 pisos. En total,bajo 8 pisos.

                      Lo indicamos así: (-2) + (-6) = -8 

Cuando sumamos números enteros de igual signo, sumamos los valores absolutos y copiamos ese signo.

• El ascensor estaba en la planta baja, subió 5 pisos, paro y bajo 7 pisos. Finalmente,quedo en el segundo subsuelo.

                     Lo indicamos así : (+5) + (-7) = -2

•  El ascensor estaba en la planta baja,bajo 1 piso,paro y subió 3 pisos. Finalmente, quedo en el segundo piso. 

                   Lo indicamos así: (-1) + (+3)= +2

Cuando sumamos dos números enteros de distintos signos,restamos sus valores absolutos y, al resultado, le asignamos el signo de numero mayor valor absoluto.

• Resta de números enteros

Una resta de números enteros se puede resolver como si se tratara de una suma, pero con una particularidad:

El símbolo de la resta le cambia el signo a la cifra que le sigue, por lo que:

Si el numero que se resta es positivo lo convierte en negativo.

Si el numero que se resta es negativo lo convierte en positivo.

A) A un numero positivo le restamos otro numero positivo:

                                                      3-2 

Lo tratamos como si fuera una suma,pero a la cifra que se le resta (2) le tenemos que cambiar el signo.
                                                    3+(-2)
por un lado sumamos los números positivos (3)
por otro lado los negativos
Ahora el resultado positivo suma y el negativo resta:
                                          3 - 2 =1
B) A un número positivo le restamos un número negativo:
                                         3-(-4)
Lo tratamos como si fuera suma, pero a la cifra que se resta (-4) le tenemos que cambiar el signo
                                         3+(4)
Se trataría de una suma normal:
                                         3+(4)=7
C) A un número negativo le restamos otro numero negativo 
                                        (-3)-(-4)
   Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra se le resta (-4) le tenemos que cambiar el signo.
                                        (-3)+(4)
Por un lado sumamos los números positivos: 4
Por otro lado sumamos los números negativos:(-3)
ahora el resultado positivo suma y el negativo resta
                                        4 - 3=1
D) A un número negativo le restamos un numero positivo
                                       (-3) - 4
Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que resta (4) le tenemos que cambiar el signo (-4)
                                      (-3) + (-4)
Se trataría de una suma de dos números negativos. Es una suma normal pero el resultado tiene signo negativo:
                                       (-3) + (-4)  = -7


                                     Propiedades al operar

• Utilizamos las mismas que al hacerlo con números naturales: 
• Propiedad asociativa: podemos agrupar los números de diversas formas y que de el mismo resultado. Esta propiedad se cumple en la suma.
•  En suma: 

-2+5(-8)=

[-2+5]+(-8) = -2+[5+(-8)]

  3 + (-8) = -2+[5-8]

         3-8 =  -2+(-3)

       -5 =  -2-3

   -5 = -5

• En multiplicación:

(-2) . 5 . (-4)=

[(-2) . 5] . (-4) = (-2) . [5 . (-4)]

-10 . (-4) = (-2) . (-20)

40 = 40

• Propiedad conmutativa: se invierte el orden de los números y el resultado no se altera.Esta propiedad no se cumple en la suma.
• en suma:

2+(-3) = (-3)+2

         2-3 = (-3)+2

     -1 = -1

• En multiplicación:

(-3) . 5 = 5 . (-3)

-15 = -15

• Propiedad distributiva: permite descompones los números, distribuirlos, sumarlos o restarlos y el resultado no cambiara. 
• Con resta: 

(-3) . (5+1) = (-3) . 5+ (-3) . 1

(-3) . 6 = -15 + (-3)

-18 = -15-3

-18 = -18 

• Con división:

(6-3) : (-3) = 6 : (-3) + (-3) : (-3)

3 : (-3) = -2 + 1

-1 = -1

• Los números opuestos

Los números que tienen el mismo modulo y distinto signo se llaman opuestos. Por ejemplo:

• Cálculos con enteros: acerca del orden 
• Para resolver los cálculos con las 4 operaciones, primero multiplicamos y dividimos y luego sumamos o restamos.

1+3 . 5-10 = (-2)

1+15-10=(-2)

16-10= 6

• Si en un calculo combinado hay paréntesis, corchetes  y llaves, primero suprimimos los paréntesis luego los corchetes y por ultimo las llaves, luego de realizar las operaciones que estos encierran.
• Los signos 

Ley de los signos que se aplica en los números enteros.

• La recta numérica
• En la recta numérica los valores negativos se ubican a la izquierda del 0. El número -1 esta a una unidad a la izquierda del 0, el -2 a una unidad a la izquierda del -1 y así sucesivamente. 

Al igual que en los números naturales es mayor aquel que se encuentra a la derecha. El 0 es el único número entero que no es positivo ni negativo.